Операции с массивами матлаб. MATLAB Language Ячеистые массивы
Выше были рассмотрены операции с простыми переменными. Однако с их помощью сложно описывать сложные данные, такие как случайный сигнал, поступающий на вход фильтра или хранить кадр изображения и т.п. Поэтому в языках высокого уровня предусмотрена возможность хранить значения в виде массивов. В MatLab эту роль выполняют векторы и матрицы.
Ниже показан пример задания вектора с именем a, и содержащий значения 1, 2, 3, 4:
a = ; % вектор-строка
Для доступа к тому или иному элементу вектора используется следующая конструкция языка:
disp(a(1)); % отображение
значения 1-го элемента вектора
disp(a(2)); % отображение
значения 2-го элемента вектора
disp(a(3)); % отображение
значения 3-го элемента вектора
disp(a(4)); % отображение
значения 4-го элемента вектора
т.е. нужно указать имя вектора и в круглых скобках написать номер индекса элемента, с которым предполагается работать. Например, для изменения значения 2-го элемента массива на 10 достаточно записать
a(2) = 10; % изменение значения 2-го элемента на 10
Часто возникает необходимость определения общего числа элементов в векторе, т.е. определения его размера. Это можно сделать, воспользовавшись функцией length() следующим образом:
N = length(a); % (N=4) число элементов массива а
Если требуется задать вектор-столбец, то это можно сделать так
a = ; % вектор-столбец
b = ’; % вектор-столбец
при этом доступ к элементам векторов осуществляется также как и для векторов-строк.
Следует отметить, что векторы можно составлять не только из отдельных чисел или переменных, но и из векторов. Например, следующий фрагмент программы показывает, как можно создавать один вектор на основе другого:
a = ; %
начальный вектор a
=
b = ; % второй
вектор b =
Здесь вектор b состоит из шести элементов и создан на основе вектора а. Используя этот прием, можно осуществлять увеличение размера векторов в процессе работы программы:
a = ; % увеличение вектора а на один элемент
Недостатком описанного способа задания (инициализации) векторов является сложность определения векторов больших размеров, состоящих, например, из 100 или 1000 элементов. Чтобы решить данную задачу, в MatLab существуют функции инициализации векторов нулями, единицами или случайными значениями:
a1 = zeros(1, 100); %
вектор-строка, 100 элементов с
% нулевыми
значениями
a2 = zeros(100, 1); % вектор-столбец,
100 элементов с
% нулевыми
значениями
a3 = ones(1, 1000); %
вектор-строка, 1000 элементов с
%
единичными значениями
a4 = ones(1000, 1); % вектор-столбец,
1000 элементов с
%
единичными значениями
a5 = rand(1000, 1); % вектор-столбец,
1000 элементов со
%
случайными значениями
Матрицы в MatLab задаются аналогично векторам с той лишь разницей, что указываются обе размерности. Приведем пример инициализации единичной матрицы размером 3х3:
E = ; % единичная матрица 3х3
E = ; % единичная матрица 3х3
Аналогичным образом можно задавать любые другие матрицы, а также использовать приведенные выше функции zeros(), ones() и rand(), например:
A1 = zeros(10,10); % нулевая матрица 10х10 элементов
A2 = zeros(10); % нулевая
матрица 10х10 элементов
A3 = ones(5); % матрица
5х5, состоящая из единиц
A4 = rand(100); %
матрица 100х100, из случайных чисел
Для доступа к элементам матрицы применяется такой же синтаксис как и для векторов, но с указанием строки и столбца где находится требуемый элемент:
A = ; %
матрица 3х3
disp(A(2,1)); % вывод на
экран элемента, стоящего во
% второй строке первого столбца,
т.е. 4
disp(A(1,2)); % вывод на
экран элемента, стоящего в
% первой строке второго столбца,
т.е. 2
Также возможны операции выделения указанной части матрицы, например:
B1 = A(:,1); % B1 = – выделение
первого столбца
B2 = A(2,:); % B2 = – выделение
первой строки
B3 = A(1:2,2:3); % B3 = – выделение первых
двух
% строк
и 2-го и 3-го столбцов матрицы А.
Размерность любой матрицы или вектора в MatLab можно определить с помощью функции size(), которая возвращает число строк и столбцов переменной, указанной в качестве аргумента:
a = 5; % переменная
а
A = ; % вектор-строка
B = ; % матрица
2х3
size(a) % 1х1
size(A) % 1х3
size(B) % 2х3
Урок №13.
Многомерные массивы
Понятие о многомерных массивах
Применение оператора «:» в многомерных массивах
Доступ к отдельному элементу многомерного массива
Удаление размерности в многомерном массиве
Создание страниц, заполненных константами и случайными числами
Объединение массивов
Вычисление числа размерностей массива и определение размера размерностей
Перестановки размерностей массивов
Сдвиг размерностей массивов
Удаление единичных размерностей
В этом уроке мы коснемся вопросов, связанных с более сложными типами данных, к которым относятся многомерные массивы.
Понятие о многомерных массивах
В MATLAB двумерный массив является частным случаем многомерного массива. Многомерные массивы характеризуются размерностью более двух. Таким массивам можно дать наглядную интерпретацию. Так, матрицу (двумерный массив) можно записать на одном листе бумаги в виде строк и столбцов, состоящих из элементов матрицы. Тогда блокнот с такими листками можно считать трехмерным массивом, полку в шкафу с блокнотами - четырехмерным массивом, шкаф со множеством полок - пятимерным массивом и т. д. В этой книге практически нигде, кроме этого раздела, мы не будем иметь дело с массивами, размерность которых выше двух, но знать о возможностях MATLAB в части задания и применения многомерных массивов все же полезно.
В нашей литературе понятия «размер» и «размерность» массивов являются почти синонимами. Однако они имеют явно разный смысл в данной книге, как и в документации и литературе по системе MATLAB. Под размерностью массивов понимается число измерений в пространственном представлении массивов, а под размером - число строк и столбцов (mxn) в каждой размерности массива.
Применение оператора «:» в многомерных массивах
При обычном задании массивов (с помощью символа точки с запятой «;») число рядов (строк) массива получается на 1 больше, чем число символов «:», но массив остается двумерным. Оператор «:» (двоеточие) позволяет легко выполнять операции по увеличению размерности массивов. Приведем пример формирования трехмерного массива путем добавления новой страницы. Пусть у нас задан исходный двумерный массив М размером 3x3:
» М=
М =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Для добавления новой страницы с тем же размером можно расширить М следующим образом:
» М(:.:.2)=
M(:.:.l) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
М(:.:.2) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Посмотрим, что теперь содержит массив М при явном его указании:
» М
М(:,:.1)=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
М(:.:.2) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Как можно заметить, числа в выражениях М(:.:, 1) и М(:,: ,2) означают номер страницы.
Доступ к отдельному элементу многомерного массива
Чтобы вызвать центральный элемент сначала первой, а затем второй страницы, надо записать следующие выражения:
» М(2.2,1)
Ans =
» МС2.2.2)
Ans =
Таким образом, в многомерных массивах используется то же правило индексации, что и в одномерных и двумерных. Произвольный элемент, например, трехмерного массива задается как М(1 .j.k), где 1 - номер строки, j - номер столбца и k - номер страницы. Этот элемент можно вывести, а можно присвоить ему заданное значение х: М(1 ,j,k)=x.
Удаление размерности в многомерном массиве
Мы уже отмечали возможность удаления отдельных столбцов присвоением им значений пустого вектора-столбца . Этот прием нетрудно распространить на страницы и вообще размерности многомерного массива. Например, первую страницу полученного массива М можно удалить следующим образом:
» М(:.:.1)=
М =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Нетрудно заметить, что в этом массиве осталась только вторая страница и что размерность массива уменьшилась на 1 - он стал двумерным.
Создание страниц, заполненных константами и случайными числами
Если после знака присваивания стоит численная константа, то соответствующая часть массива будет содержать элементы, содержащие данную константу. Например, создадим из массива М (см. пример выше) массив, у которого вторая страница содержит единицы:
»M(:.:..2)=1
М(:.:,1) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
М(:.:.2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
А теперь заменим первую страницу массива на страницу с нулевыми элементами:
»M(:.:.1)=0
M(:.:.1)=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
М(:.:,2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Использование функций ones, zeros, rand и randn
Функции ones (создание массивов с единичными элементами), zeros (создание массивов с нулевыми элементами) и rand или randn (создание массивов с элементами - случайными числами с соответственно равномерным и нормальным распределением) могут также использоваться для создания многомерных массивов. Примеры приводятся ниже:
» E=ones(3.3.2)
E(:.:.1)=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
E(:.:,2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
» Z=zeros(2,2,3) Z(:,:.l) =
Z(:.:.2) =
Z(:.:,3) =
» R=randn(3,2.2) R(:.:.l) =
1.6656-1.1465
0.1253 1.1909
0.2877 1.1892
R(:.:,2) =
0.0376-0.1867
0.3273 0.7258
0.1746 -0.5883
Эти примеры достаточно очевидны и не требуют особых комментариев. Обратите, однако, внимание на легкость задания размеров массивов для каждой размерности. Кроме того, следует отметить, что если хотя бы одна размерность массива равна нулю, то массив будет пустым:
» A=randn(3,3,3,0)
А =
Empty array: 3-bу-3-bу-3-by-0
Как видно из данного примера, пустой массив возвращается с соответствующим комментарием.
Объединение массивов
Для создания многомерных массивов служит описанная ранее для матриц специальная функция конкатенации cat:
cat(DIM,A,B) - возвращает результат объединения двух массивов А и В вдоль размерности DIM;
cat(2.A.B) - возвращает массив [А.В], в котором объединены ряды (горизонтальная конкатенация);
cat(1, А.В) - возвращает массив [А:В], в котором объединены столбцы (вертикальная конкатенация);
B=cat(DIM.Al,A2,...) - объединяет множество входных массивов Al, A2,... вдоль размерности DIM.
Функции cat(DIM,C{:}) и cat(DIM.C.FIELD) обеспечивают соответственно конкатенацию (объединение) ячеек массива ячеек (см урок 15) или структур массива структур (см. урок 14), содержащих числовые матрицы, в единую матрицу. Ниже приводятся примеры применения функции cat:
» М1=
» М2=
М2 =
» catd.Ml.M2)
Ans =
5 б
» cat(2.Ml.M2)
ans=
1 2 5 6
3 4 7 8
» M-cat(3.Ml.M2) M(:,:.l) =
М(:,:,2) =
Работа с размерностями
Вычисление числа размерностей массива
Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims:
» M=rand(2:3:4:5):
» ndims(M)
Ans =
4
Вычисление размера
размерности массива
Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size:
М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов;
Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е. size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня.
Вообще, когда входным аргументом size является javaarray, то возвращаемое число столбцов всегда 1, а число рядов (строк) равно размеру (длине) javarray.
Si ze(A) возвращает размер первых N размерностей массива А;
D = size (А), для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n;
Size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип.
Перестановки размерностей массивов
Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов:
Permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А;
ipermuteCA, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A
Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size:
» А=:
» В=;
» С=;
» D=cat(3.A,B.C)
D(:,:,l) =
9 10
11 12
» size(D)
Ans =
2 2 3
» size(permute(D.))
ans=
3 2 2
»size(ipermute(D.))
Ans=
2 2 3
» ipermute(permute(D,),)
Ans(:. :,2) =
ans(:.:,3) =
9 10
11 12
Сдвиг размерностей массивов
Сдвиг размерностей реализуется функцией shiftdim:
B=shiftdim(X,N) - сдвиг размерностей в массиве X на величину N. Если М>0, то сдвиг размерностей, расположенных справа, выполняется влево, а N первых слева размерностей сворачиваются в конец массива, т. е. движение размерностей идет по кругу против часовой стрелки. Если М<0, сдвиг выполняется вправо, причем N первых размерностей, сдвинутых вправо, замещаются единичными размерностями;
Shiftdim(X) - возвращает массив В с тем же числом элементов, что и у массива X, но с удаленными начальными единичными размерностями. Выходной параметр NSHIFTS показывает число удаленных размерностей. Если X - скаляр, функция не изменяет X , В, NSHIFTS.
Следующий пример иллюстрирует применение функции shiftdim:
» A=randn(1.2.3,4):
» =shiftdim(A)
B(:.:.l) =
2.1707-1.01060.5077
0.05920.6145 1.6924
B(:.:,2) =
0.5913 0.3803 -0.0195
0.6436-1.0091-0.0482
B(:.:.3) =
0.0000 1.0950 0.4282
0.3179-1.87400.8956
В(:.:,4) =
0.7310 0.0403 0.5689
0.5779 0.6771 -0.2556
Удаление единичных размерностей
Функция squeeze(A) возвращает массив, в котором удалены все единичные размерности. Единичной называется размерность, в которой size(A. dim) == 1. Но если
А - одномерный или двумерный массив (матрица или вектор), то функция вернет тот же самый массив А. Следующий пример поясняет работу squeeze:
» A=randn(1.2.1.3.1):
» B=squeeze(A)
0.6145 1.6924 -0.6436
0.5077 0.5913 0.3803
Обратите внимание на то, что пятимерный массив А превращается в массив с размерностью 2 и размером 2x3.
Что нового мы узнали?
В этом уроке мы научились:
Создавать многомерные массивы.
Применять оператор «:» в многомерных массивах.
Получать доступ к отдельным элементам многомерных массивов.
Удалять размерности у многомерного массива.
Создавать массивы, заполненные константами и случайными числами.
Осуществлять объединение массивов.
Вычислять число размерностей массива и определять размер каждой размерности.
Переставлять, сдвигать и удалять единичные размерности в многомерных массивах.
Все данные MatLab представляет в виде массивов. Очень важно правильно понять, как использовать массивы. Без этого невозможна эффективная работа в MatLab, в частности построение графиков, решение задач линейной алгебры, обработки данных, статистики и многих других. В данном подразделе описаны вычисления с векторами.
Массив - упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных. У массива должно быть имя. Массивы различаются по числу размерностей или измерений: одномерные, двумерные, многомерные. Доступ к элементам осуществляется при помощи индекса. В MatLab нумерация элементов массивов начинается с единицы. Это значит, что индексы должны быть больше или равны единице.
Важно понять, что вектор, вектор-строка или матрица являются математическими объектами, а одномерные, двумерные или многомерные массивы - способы хранения этих объектов в компьютере. Всюду дальше будут использоваться слова вектор и матрица, если больший интерес представляет сам объект, чем способ его хранения. Вектор может быть записан в столбик (вектор-столбец) и в строку (вектор-строка). Вектор-столбцы и вектор-строки часто будут называться просто векторами, различие будет сделано в тех случаях, если важен способ хранения вектора в MatLab. Векторы и матрицы обозначаются курсивом, а соответствующие им массивы прямым моноширинным шрифтом, например: "вектор а
содержится в массиве а", "запишите матрицу R в массив r".
Ввод сложение и вычитание векторов
Работу с массивами начнем с простого примера - вычисления суммы векторов:
, .
Для хранения векторов используйте массивы а и b. Введите массив а в командной строке, используя квадратные скобки и разделяя элементы вектора точкой с запятой:
» a =
a =
1.3000
5.4000
6.9000
Так как введенное выражение не завершено точкой с запятой, то пакет MatLab автоматически вывел значение переменной а. Введите теперь второй вектор, подавив вывод на экран
» b = ;
Для нахождения суммы векторов используется знак +. Вычислите сумму, запишите результат в массив с и выведите его элементы в командное окно:
» с = а + b
с =
8.4000
8.9000
15.1000
Узнайте размерность и размер массива а при помощи встроенных функций ndims и size:
» ndims(a)
ans =
2
» size(a)
ans =
3 1
Итак, вектор а хранится в двумерном массиве а размерностью три на один (вектор-столбец из трех строк и одного столбца). Аналогичные операции можно проделать и для массивов b и c . Поскольку числа в пакете MatLab представляются в виде двумерного массива один на один, то при сложении векторов используется тот же знак плюс, что и для сложения чисел.
Ввод вектор-строки осуществляется в квадратных скобках, однако элементы следует разделять пробелами или запятыми. Операции сложения, вычитания и вычисление элементарных функций от вектор-строк производятся так же, как и с вектор-столбцами, в результате получается вектор-строка того же размера, что и исходные. Например:
» s1 =
s1 =
3 4 9 2
» s2 =
s1 =
5 3 3 2
» s3 = s1 + s2
s3 =
8 7 12 4
Замечание 1
Если размеры векторов, к которым применяется сложение или вычитание, не совпадают, то выдается сообщение об ошибке.
Естественно, для нахождения разности векторов следует применять знак минус, с умножением дело обстоит несколько сложнее.
Введите две вектор-строки:
» v1 = ;
» v2 = ;
Операция.* (не вставляйте пробел между точкой и звездочкой!) приводит к поэлементному умножению векторов одинаковой длины. В результате получается вектор с элементами, равными произведению соответствующих элементов исходных векторов:
» u = v1.*v2
u =
14 -15 -24 9
При помощи.^ осуществляется поэлементное возведение в степень:
» р = v1.^2
p =
4 9 16 1
Показателем степени может быть вектор той же длины, что и возводимый в степень. При этом каждый элемент первого вектора возводится в степень, равную соответствующему элементу второго вектора:
» p = vl.^v2
Р =
128.0000 -243.0000 0.0002 1.0000
Деление соответствующих элементов векторов одинаковой длины выполняется с использованием операции./
» d = v1./v2
d =
0.2857 -0.6000 -0.6667 0.1111
Обратное поэлементное деление (деление элементов второго вектора на соответствующие элементы первого) осуществляется при помощи операции.\
» dinv = vl.\v2
dinv =
3.5000 -1.6667 -1.5000 9.0000
Итак, точка в MatLab используется не только для ввода десятичных дробей, но и для указания того, что деление или умножение массивов одинакового размера должно быть выполнено поэлементно.
К поэлементным относятся и операции с вектором и числом. Сложение вектора и числа не приводит к сообщению об ошибке. MatLab прибавляет число к каждому элементу вектора. То же самое справедливо и для вычитания:
» v = ;
» s = v + 1.2
s =
5.2000 6.2000 9.2000 11.2000
» r = 1.2 - v
r =
-2.8000 -4.8000 -6.8000 -8.8000
» r1 = v - 1.2
r1 = 2.8000 4.8000 6.8000 8.8000
Умножать вектор на число можно как справа, так и слева:
» v = ;
» p = v*2
р =.
8 12 16 20
» pi = 2*v
pi =
8 12 16 20
Делить при помощи знака / можно вектор на число:
» р = v/2
p =
2 3 4 5
Попытка деления числа на вектор приводит к сообщению об ошибке:
» р = 2/v
??? Error using ==> /
Matrix dimensions must agree.
Если требуется разделить число на каждый элемент вектора и записать результат в новый вектор, то следует использовать операцию./
» w = ;
» d = 12./w
d =
3 6 2
Все вышеописанные операции применимы как к вектор-строкам, так и к вектор-столбцам.
Особенность MatLab представлять все данные в виде массивов является очень удобной. Пусть, например, требуется вычислить значение функции sin сразу для всех элементов вектора с
(который хранится в массиве с) и записать результат в вектор d.
Для получения вектора d
достаточно использовать один оператор присваивания:
» d = sin(с)
d =
0.8546
0.5010
0.5712
Итак, встроенные в MatLab элементарные функции приспосабливаются к виду аргументов; если аргумент является массивом, то результат функции будет массивом того же размера, но с элементами, равными значению функции от соответствующих элементов исходного массива. Убедитесь в этом еще на одном примере. Если необходимо найти квадратный корень из элементов вектора d со знаком минус, то достаточно записать:
» sqrt(-d)
ans =
0 + 0.9244i
0 + 0.7078i
0 + 0.7558i
Оператор присваивания не использовался, поэтому пакет MatLab записал ответ в стандартную переменную ans.
Для определения длины вектор-столбцов или вектор-строк служит встроенная функция length:
» length(s1)
ans =
4
Из нескольких вектор-столбцов можно составить один, используя квадратные скобки и разделяя исходные вектор-столбцы точкой с запятой:
» v1 = ;
» v2 = ;
» v =
v =
1
2
3
4
5
Для сцепления вектор-строк также применяются квадратные скобки, но сцепляемые вектор-строки отделяются пробелами или запятыми:
» v1 = ;
» v2 = ;
» v =
v =
1 2 3 4 5
Работа с элементами векторов
Доступ к элементам вектор-столбца или вектор-строки осуществляется при помощи индекса, заключаемого в круглые скобки после имени массива, в котором хранится вектор. Если среди переменных рабочей среды есть массив v, определенный вектор-строкой
» v = ;
то для вывода, например его четвертого элемента, используется индексация:
» v(4)
ans =
8.2000
Появление элемента массива в левой части оператора присваивания приводит к изменению в массиве
» v(2) = 555
v =
1.3000 555.0000 7.4000 8.2000 0.9000
Из элементов массива можно формировать новые массивы, например
» u =
u =
7.4000
555.0000
1.3000
Для помещения определенных элементов вектора в другой вектор в заданном порядке служит индексация при помощи вектора . Запись в массив w четвертого, второго и пятого элементов v производится следующим образом:
» ind = ;
» w = v(ind)
w =
8.2000 555.0000 0.9000
MatLab предоставляет удобный способ обращения к блокам последовательно расположенных элементов вектор-столбца или вектор-строки. Для этого служит индексация при помощи знака двоеточия. Предположим, что в массиве w , соответствующем вектор-строке из семи элементов, требуется заменить нулями элементы со второго по шестой. Индексация при помощи двоеточия позволяет просто и наглядно решить поставленную задачу:
» w = ;
» w(2:6) = 0;
» w
w =
0.1000 0 0 0 0 0 9.8000
Присваивание w(2:6) = 0 эквивалентно последовательности команд
w(2) = 0; w(3)=0; w(4)=0; w(5)=0; w(6)=0.
Индексация при помощи двоеточия оказывается удобной при выделении части из большого объема данных в новый массив:
» w - ;
» wl = w(3:5)
wl =
3.3000 5.1000 2.6000
Составьте массив w2, содержащий элементы w кроме четвертого. В этом случае удобно использовать двоеточие и сцепление строк:
» w2 =
w2 =
0.1000 2.9000 3.3000 2.6000 7.1000 9.8000
Элементы массива могут входить в выражения. Нахождение, например среднего геометрического из элементов массива u , можно выполнить следующим образом:
» gm = (u(l)*u(2)*u(3))^(l/3)
gm =
17.4779
Конечно, этот способ не очень удобен для длинных массивов. Для того чтобы найти среднее геометрическое, необходимо набрать в формуле все элементы массива. В MatLab существует достаточно много специальных функций, облегчающих подобные вычисления.
Применение функций обработки данных к векторам
Перемножение элементов вектора-столбца или вектора-строки осуществляется при помощи функции prod:
» z = ;
» р = prod(z)
p = 720
Функция sum предназначена для суммирования элементов вектора. С ее помощью нетрудно вычислить среднее арифметическое элементов вектора z:
» sum(z)/length(z)
ans =
3.5000
В MatLab имеется и специальная функция mean для вычисления среднего арифметического:
» mean(z)
ans =
3.5000
Для определения минимального и максимального из элементов вектора служат встроенные функции min и max:
» m1 = max(z)
m1 =
6
» m2 = min(z)
m2 =
1
Часто необходимо знать не только значение минимального или максимального элемента в массиве, но и его индекс (порядковый номер). В этом случае встроенные функции min и max необходимо использовать с двумя выходными аргументами, например
» = min(z)
m =
1
k =
3
В результате переменной m будет присвоено значение минимального элемента массива z, а номер минимального элемента занесен в переменную k.
Для получения информации о различных способах использования функций следует набрать в командной строке help и имя функции. MatLab выведет в командное окно всевозможные способы обращения к функции с дополнительными пояснениями.
В число основных функций для работы с векторами входит функция упорядочения вектора по возрастанию его элементов sort.
» r = ;
» R = sort(r)
R =
Можно упорядочить вектор по убыванию, используя эту же функцию sort :
» R1 = -sort(-r)
R1 =
9.4000 7.1000 1.3000 0.8000 -2.3000 -5.2000
Упорядочение элементов в порядке возрастания их модулей производится с привлечением функции abs:
» R2 = sort(abs(r))
R2 =
0.8000 1.3000 2.3000 5.2000 7.1000 9.4000
Вызов sort с двумя выходными аргументами приводит к образованию массива индексов соответствия элементов упорядоченного и исходного массивов:
» = sort(r)
rs =
-5.2000 -2.3000 0.8000 1.3000 7.1000 9.4000
ind =
3 2 5 6 4 1
Язык технических вычислений
Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.
MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.
Начало работы
Изучите основы MATLAB
Основы языка
Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы
Импорт и анализ данных
Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования
Математика
Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика
Графика
2D и 3D графики, изображения, анимация
Программирование
Скрипты, функции и классы
Создание приложений
Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE
Инструменты разработки программного обеспечения
Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов
Транскрипт
1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р. Е. АЛЕКСЕЕВА» КАФЕДРА «КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОЕКТИРОВАНИИ И ПРОИЗВОДСТВЕ» РАБОТА С МАССИВАМИ В СЕДЕ MATLAB ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА по дисциплине «Математический аппарат динамических систем» для магистрантов очной формы обучения по направлениям подготовки:.. «Конструирование и технология радиоэлектронных средств»,.. «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»,.. «Радиотехника» (профиль подготовки «Техника СВЧ и антенны»), по дисциплине «Модели динамических систем для магистрантов очной формы обучения по направлению подготовки 9.. «Информационные системы и технологии» Нижний Новгород
3 Составитель Кукушкин А.В. УДК 68 Работа с массивами в среде MATLAB: лаб. работа по дисциплине «Математический аппарат динамических систем» для магистрантов очной формы обучения по направлениям подготовки:.. «Конструирование и технология радиоэлектронных средств»,.. «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»,.. «Радиотехника» (профиль подготовки «Техника СВЧ и антенны»), по дисциплине «Модели динамических систем для магистрантов очной формы обучения по направлению подготовки 9.. «Информационные системы и технологии», Нижегородский Государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева, 7 с. Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, Кукушкин А. В.,
5 . Цель работы Целью работы является приобретение навыков работы с массивами в программной среде MatLab, т.к. все данные в MatLab представляются и хранятся в виде массивов. В работе изучаются операции и вычисления с векторами (одномерные массивы) и матрицами (двумерные массивы).. Краткие сведения из теории Массив с присвоенным ему именем упорядоченная, пронумерованная совокупность однородных данных [, ]. Массивы различаются по числу измерений: одномерные, двумерные и многомерные. Размером массива называют число элементов по каждому измерению. Доступ к элементам осуществляется с помощью индекса (нумерация элементов начинается с индекса, равного единице). Если вектор (векторстрока или вектор-столбец), матица или тензор являются математическими понятиями (объектами), то одномерные, двумерные и многомерные массивы это способы хранения или представления этих объектов в компьютере.. Задания к работе и порядок ее выполнения Работа выполняется в командной строке (в консоли) пакета MatLab по инструкциям, приведенным в описании. Контрольные задания следуют по тексту описания.. Одномерные массивы. Умножение векторов Векторы можно перемножать между собой скалярно, векторно или образовывать так называемое «внешнее произведение». В первом случае образуется скаляр (число), во втором вектор и в третьем матрица. Скалярное произведение двух векторов, хранящихся в массивах a, b с длиной N, определяется формулой N a b a b k k. Поэтому используется поэлементное перемножение массивов, т. е. если
6 a...7 b то в командной строке нужно набрать: >> a=[.; -.;.7]; >> b=[.; 6.; -.9]; >> s=sum(a.*b) Для вычисления модуля (длины) вектора a набираем команду >> d=sqrt(sum(a.*a)) Векторное произведение определено только в трехмерном пространстве и его результатом будет также трехмерный вектор. Для этого в MATLAB имеется команда cross. >> a=[.; -.;.7]; >> b=[.; 6.; -.9]; >> c=cross(a,b) Задание: для тренировки вычислите a b b a. Вы должны получить трехмерный вектор с тремя нулевыми компонентами. Смешанное произведение трех векторов a b c дает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах как на гранях. Задание: задайте три соответствующих векторных массива по своему усмотрению и используя команду >> V=abs(sum(a.*cross(b,c))) вычислите значение соответствующего объема. «Внешним» произведением векторов с длинами N и M является матрица размера M N, где вычисление элементов проводится по правилам матричного умножения, для чего служит команда >> c=a*b «Звездочка» служит оператором матричного умножения, а «апостроф» транспонирует матрицу b. Задание: проделайте самостоятельно соответствующие упражнения с векторами a и b различной длины.,
7 Используйте далее команду whos для просмотра переменных рабочей среды... Двумерные массивы. Матрицы.... Ввод матриц. Простейшие операции. Матрицу A можно рассматривать как вектор-строку из трех элементов, каждый из которых является вектор-столбцом длиной два, либо как вектор-столбец из двух элементов, каждый из которых суть вектор-строка длиной три. Следовательно, для ее введения можно использовать де команды >> A=[[;] [;] [-;]] >> A=[ -; ] Другой способ набора состоит в следующем. Начните набирать в командной строке (используя для перехода к следующей строке клавишу «Enter»), >> B=[ 7 - ] нажав после замыкающей квадратной скобки клавишу «Enter», вы получите результат: B 7 Сложение и вычитание матриц происходит поэлементно с использованием обычных алгебраических команд, поэтому нужно следить за совпадением размерностей матриц. Наберите сначала матрицу С такой же размерности, что и матрица А, и сложите их, проверив полученный результат.
8 6 >> C=[[;] [-;] ]; >> S=A+C Для умножения матриц предназначена «звездочка» >> P=C*B P = Умножать матрицу на число можно также, используя «звездочку». >> P=A* (или P=*A) Транспонирование матрицы, как и вектора, производится при помощи команды:., символ означает комплексное сопряжение. Для вещественных матриц эти операции приводят к одинаковым результатам. >> B" ans = >> B." ans = Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к созданию разных матриц. >> K=[-i,+i;-i,-9i]
9 K =. -.i. +.i. -.i. - 9.i >> K" ans =. +.i. +.i. -.i. + 9.i >> K." ans =. -.i. -.i. +.i. - 9.i Возведение квадратной матрицы в целую степень производится при помощи оператора ^. >> B=B^ B = Задание: найдите значение следующего выражения A C B A C T где верхний индекс Т означает транспонирование. Поскольку вектор-столбец или вектор-строка в MATLAB являются матрицами, у которых один из размеров равен единице, то вышеописанные операции применимы и к перемножению матриц с векторами. Задание: вычислите выражение, 7
10 Решение систем линейных алгебраических уравнений При помощи алгебраических операций с матрицей и вектор-столбцом в MATLAB можно решать системы линейных алгебраических уравнений. Решим систему с тремя неизвестными.x.x.x.; x.x.x..9; ().9x.7x.6x.. Задание: введите матрицу коэффициентов системы () в массив А, для вектора коэффициентов правой части системы используйте массив b. Решите систему при помощи символа \ 8 >> x=a\b Проверьте правильность результата, умножив А на x.... Считывание и запись данных Часто требуется найти решение системы, состоящей из большого числа линейных уравнений, причем матрица и вектор коэффициентов системы хранятся в файлах. Перед нами стоит задача решить систему, матрица и правая часть которой хранятся в текстовых файлах matr.txt, rside.txt, и записать результат в файл sol.txt. Матрица записана в файле построчно, элементы в строке отделены пробелом, вектор правой части записан в столбик. Задание: подготовьте файлы с данными системы () в стандартной программе Windows Блокнот (NotePad). Скопируйте файлы matr.txt, rside.txt в подкаталог work основного каталога MATLAB. Для считывания из файла используйте команду load,
11 для записи save. Формат вызова этих команд с выходными аргументами: >>A=load(matr.txt); >>b=load(rside.txt); >>x=a\b; >>save sol.txt x ascii Параметр ascii означает запись в текстовом формате. После выполнения этих команд в каталоге work создается файл sol.txt, в котором в столбик записано решение системы. Посмотреть содержимое файла можно, используя любой текстовый редактор. Запись с двоичной точностью требует команды save sol.txt x ascii double. Аналогично можно записать и содержимое массива матрицы А в текстовый файл. Командой >> save sol.txt A ascii массив матрицы A записывается в файл matra.txt.... Блочные матрицы. Часто в приложениях возникают матрицы, составленные из непересекающихся блочных матриц. Соответствующие размеры блоков должны совпадать. Введите матрицы A B C D и создайте из них блочную матрицу K A C B D >> A=[- ;- ]; >> B=[ ; ]; >> C=[ -;- ]; 9
12 >> D=; >> K= K = Составьте блочную матрицу где a S K, b. S a b Заполнение матриц при помощи индексации и создание матриц специального вида Сгенерируем матрицу Генерация матрицы осуществляется в три этапа. T. Создание массива Т размером пять на пять, состоящего из нулей.. Заполнение первой строки единицами.. Заполнение части последней строки минус единицами до последнего элемента..
13 Доступ к элементам матриц осуществляется при помощи аргумента, состоящего из двух индексов номеров строки и столбца. Например, >>A(,) вызывает элемент матрицы А, стоящий во второй строке и третьем столбце. Поэтому команды для генерации матрицы Т будут иметь вид >> A(:,:)= A = >> A(,:)= A = >> A(end,:end)=- A =
14 - - - Создание некоторых специальных матриц в осуществляется при помощи встроенных функций. MATLAB Заполнение прямоугольной матрицы нулями проводится обращением к встроенной функции zeros, аргументами которой является число строк и столбцов матрицы. >> A=zeros(,6) A = >> A=zeros() A = Единичная матрица генерируется функцией eye. Примеры: >> I=eye() I = >> I=eye(,8) I =
15 Матрица, состоящая из одних единиц, вызывается функцией ones: >> E=ones(,) E = Функция rand вызывает матрицу, заполненную случайным образом числами от нуля до единицы, функция randn создает матрицу чисел, распределенных по нормальному закону. >> R=rand(,) R = >> RN=randn(8) RN =
16 Функция diag формирует диагональную матрицу из векторстолбца или вектор-строки, располагая их элементы по диагонали. Для заполнения не главной, а побочной диагонали предусмотрена возможность вызова этой функции с двумя аргументами. Примеры: >> d=; >> D=diag(d) D = >> d=[;]; >> D=diag(d,) D = >> D=diag(d,-)
17 D = Подумайте, почему в двух последних случаях не указывается размер матрицы? Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например >> A=[ ; ; 7]; >> d=diag(a) d = 7 Задание: заполните и запишите в файлы следующие матрицы.. G M
18 ..6. Поэлементные операции с матрицами Поэлементные операции с матрицами проводятся обычным образом, т.е. с использованием «точки» перед соответствующим оператором. Например, умножение первой матрицы на вторую (разумеется, того же размера!) производится оператором.*, деление элементов первой матрицы на соответствующие элементы второй производится с помощью оператора./, наоборот, деление элементов второй матрицы на элементы первой проводится оператором.\. Введите две матрицы A 9 B 7 8. Проделайте с ними операции: >>C=A.*B >>R=A./B >>R=A.\B >>P=A.^ >>PB=A.^B () Выведите последний результат в «длинном» формате, используя команду format long >> format long >>PB Обратите внимание, что повторного вычисления матрицы PB не потребовалось, так как все вычисления всегда ведутся с двойной точностью.. Контрольные вопросы.. Объясните, почему в отличие от операций сложения и вычитания можно и нужно перемножать матрицы разной 6
19 размерности. Какие параметры размерностей перемножаемых матриц должны совпадать, чтобы избежать ошибки?.. Объясните, почему операцию «возведение в степень» можно проводить только с квадратными матрицами и целыми степенями?.. Что сделал MATLAB в примере ()?. Список литературы) Дьяконов В.П. MATLAB 6/6./6. + Simulink /. Основы применения. Полное руководство пользователя, / В.П. Дьяконов. М.: СОЛОН-Пресс,. 768с.) Мэтьюз Д. Г. Численные методы. Использование MATLAB: [пер. с англ.], / Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк. М.: Изд. дом «Вильямс»,. 7с.) Теория аналитических функций. Аспекты приложений, / Л.В. Широков и др. Арзамас, АГПИ, 7. 87с.) Свешников А.Г. Теория функций комплексного переменного, / А.Г. Свешников, А.Н., Тихонов М.: Наука, 979.) Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Т., / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. M.: Наука,
Лабораторная работа 3 Работа с матрицами в MatLab Цель работы: выработать навыки работы с матрицами в MatLab. Требуемое оборудование и программное обеспечение: ПЭВМ класса Pentium или выше, операционная
Лабораторная работа Работа с векторами в MatLab Цель работы: выработать навыки работы с векторами в MatLab. Требуемое оборудование и программное обеспечение: ПЭВМ класса Pentium или выше, операционная
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.
МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность
Векторы и матрицы При работе в MATLAB необходимо учитывать две существенные особенности реализации арифметических вычислений в этой системе. Вопервых, в MATLAB все скалярные переменные трактуются, как
1 Лабораторная работа 1. Программирование в MatLab Первое знакомство с MATLAB Для запуска MATLAB Вам необходимо найти на рабочем столе ярлык этой программы и запустить его на выполнение, при этом отроется
Министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ
{ определение типы матриц сложение матриц умножение матриц свойства операции умножения умножение матрицы на число полином от матриц транспонирование матрицы примеры } Матрицей называется набор m элементов
Общие сведения MATLAB - это высокоэффективный язык инженерных и научных вычислений. Он поддерживает математические вычисления визуализацию графики и программирование с использованием легко осваиваемого
Тема3. Операциис векторамии матрицами Под вектором в MatLAB понимается одномерный массив чисел, а под матрицей двумерный массив. При этом по умолчанию предполагается, что любая заданная переменная является
Ãëàâà 7 Ëèíåéíàÿ àëãåáðà Задачи линейной алгебры, решаемые в Mth, можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,
Лабораторная работа РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Список способ структурирования данных. Элементами списка могут быть любые выражения Mathematca, в том числе и другие списки. С клавиатуры списки вводятся
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия
Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно
Лекция 3 Матричные вычисления в MathCAD Символьный процессор MathCAD позволяет выполнять самые разные матричные вычисления. При этом к матричным вычислениям можно применять рассмотренную ранее команду
Тема. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЕЙ размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначается:. m n Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать
Матрицы и действия над ними ы Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества (например чисел или функций) имеющая строк и столбцов Элементы из которых составлена а называются
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского
Работа в командном окне Задание 1 Выполните операцию why в командной строке 10 раз. Скопируйте результат исполнения команды в Word, переведите предложения на русский язык. Сравните ваш результат с результатом
УДК 519.85 ББК 22.18 Я49 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Математическое программное обеспечение» подготовлен в рамках инновационной образовательной программы «Инновационно-образовательный
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция
Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.
) Матрицы, основные определения) Элементарная алгебра матриц) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде
НИИСХ Северо-Востока, -8 с ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ Матричная алгебра - это система обозначений для упрощения описаний множества чисел и символов Матричная алгебра имеет такое же отношение к скалярной
Лекция 2 Действия с матрицами Основные определения Матрицей размера n называется совокупность n чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из n строк и столбцов и заключенной в скобки: a11
ЛЕКЦИЯ 4. Алгоритмы обработки двумерных массивов. Цель лекции: Знакомство с понятием матрицы, как двумерного массива. Приобретение навыков построения алгоритмов предназначенных для обрабо тки ма триц.
Основы программирования Выбор варианта задания Номер варианта задания соответствует порядковому номеру студента в группе. Если порядковый номер больше, чем количество вариантов, нумерацию считать циклической.
Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие......................................... 3 Глава1 Элементы линейной алгебры............................ 5 1.1. Матрицы и определители........................... 5 1.2. Линейные пространства............................
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
05 setgray0 05 setgray Лекция МАТРИЦЫ Определение матрицы Дадим определение матрицы размера m n Определение Матрицей размера m n над множеством X называется упорядоченный набор из m n элементов этого множества,
Тема: Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических
Гл.5. MATLAB 5.1. Введение MATLAB - МATrix LABoratory - язык и среда программирования для разработки алгоритмов, анализа данных, визуализации и численных расчетов. Компания Mathworks производит около 100
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Тема: Решение систем линейных уравнений работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Ecel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется
Задания учебную практику Вариант 1 Написать программу, которая считывает из текстового файла три предложения и выводит их в обратном порядке. Описать класс, реализующий стек. Написать программу, использующую
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302
Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем
66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции
8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика
Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию
МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном
12 Практическое занятие 2 Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами Продолжительность работы 2 часа Цель работы: закрепление знаний о методе Гаусса и Жордана (Гаусса Жордана), о
Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление
Решение задачи линейной алгебры в электронных таблицах Пример.9. Решим методом обратной матрицы следующую систему уравнений: - -. В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ
Лабораторная работа 3 Задание Требуется реализовать программу, выполняющую действия над массивами. При выполнении части 1 допускается использование массивов статического размера. При выполнении части 2
(4 часа) Численное решение систем линейных алгебраических уравнений Цель работы: получение практических навыков построения алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений, программной реализации
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?
Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства
Тема: Двумерные массивы Лабораторная работа 6 Цель: Изучение способов задания двумерных массивов в языке C#. Приобретение навыков составления и отладки программ с использованием двумерных массивов. 1 Теоретический
1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента
Задания к лабораторной работе по MathCAD. Особенности работы средствами MathCAD I). Изучите методические указания к работе средствами MathCAD II). Средствами MathCAD согласно вашему варианту выполните
Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,
Тема: Цель: Время: Задание: Литература: Практическая работа 0. Использование абсолютных и относительных адресов ячеек в формулах, решение уравнений и систем линейных алгебраических уравнений с помощью
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра
Й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа
Свойства собственных векторов линейного оператора. 1. Если λ 1,..., λ k (k n) различные собственные числа оператора ϕ, тогда соответствующие собственные векторы x 1,..., x k линейно независимы. Доказательство:
Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для
Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ MICROSOFT EXCEL. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ Задача определения решения системы имеет давнюю традицию. Существует много методов